Curva brachistocrona: la sfida del 1696 che inventò un nuovo ramo della matematica

Immaginate una pallina che deve scivolare da un punto in alto a uno più in basso, ma spostato di lato. Qual è la forma dello scivolo che le fa impiegare il minor tempo possibile? L'istinto suggerisce la linea retta, la distanza più corta. E invece la risposta è una curva precisa e sorprendente, la curva brachistocrona, una domanda che nel 1696 mise alla prova i più grandi matematici d'Europa e diede vita a un'intera branca della matematica.

La sfida lanciata a tutta Europa

Il nome viene dal greco brachistos (il più breve) e chronos (tempo): la curva del tempo più breve. A formulare il problema in modo rigoroso fu il matematico svizzero Johann Bernoulli, che nel giugno del 1696 lo pubblicò sulla rivista scientifica Acta Eruditorum come una sfida aperta, rivolta — con un pizzico di spavalderia — ai "matematici più acuti del mondo intero". La questione era: dati due punti a quote diverse e non sulla stessa verticale, trovare la traiettoria lungo la quale un corpo, soggetto alla sola gravità e partendo da fermo, scivola dal primo al secondo nel minor tempo.

Bernoulli concesse inizialmente sei mesi di tempo. La posta in gioco non era denaro, ma qualcosa di più ambito nella Repubblica delle Lettere del Seicento: la gloria intellettuale. Come ricostruisce la Encyclopædia Britannica, già Galileo Galilei nel 1638 si era posto un problema simile, ipotizzando che la discesa più rapida seguisse un arco di circonferenza. Si sbagliava, ma aveva intuito che la retta non era la risposta.

La risposta è una cicloide

La curva vincente è la cicloide: la traiettoria che descrive un punto sul bordo di una ruota mentre questa rotola su una superficie piana. Capovolta, quella stessa curva diventa lo scivolo più veloce. All'inizio la pendenza è ripidissima, così la pallina accelera subito al massimo; poi la curva si addolcisce per sfruttare la velocità accumulata. È un compromesso ottimale tra il guadagnare slancio in fretta e il non allungare troppo il percorso.

C'è una proprietà ulteriore che rende la cicloide quasi magica: è anche la curva tautocrona, scoperta da Christiaan Huygens nel 1659. Significa che una pallina lasciata cadere lungo una cicloide raggiunge il fondo sempre nello stesso tempo, qualunque sia il punto di partenza. Huygens cercò di sfruttare questa proprietà per costruire pendoli più precisi.

Newton e l'artiglio del leone

Alla sfida risposero in pochi, ma che pochi. Arrivarono le soluzioni di Gottfried Leibniz, di Jakob Bernoulli (fratello e rivale di Johann), del marchese de l'Hôpital, di Ehrenfried Walther von Tschirnhaus e dello stesso Johann. E poi quella di Isaac Newton. La leggenda, riportata anche dalla biografia curata dall'archivio MacTutor dell'Università di St Andrews, racconta che Newton ricevette il problema a casa nel tardo pomeriggio, di ritorno dal suo lavoro alla Zecca di Londra, e lo risolse nottetempo, spedendo la soluzione in forma anonima.

Bernoulli, però, riconobbe subito l'autore dall'eleganza del ragionamento e avrebbe commentato: "riconosco il leone dall'artiglio". Una frase rimasta celebre per indicare l'inconfondibile impronta di un genio anche quando cerca di restare anonimo.

Una sfida che fondò il calcolo delle variazioni

Al di là dell'aneddoto, il problema della brachistocrona ebbe conseguenze profonde. Per risolverlo non bastava cercare il minimo di una funzione, come si insegna a scuola: bisognava trovare, tra tutte le curve possibili, quella che minimizza una certa grandezza, in questo caso il tempo. È un problema di ottimizzazione su uno spazio infinito di possibilità. Da queste idee, sistematizzate poi da Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange, nacque il calcolo delle variazioni, uno strumento oggi essenziale in fisica, ingegneria ed economia, come illustra anche la voce dedicata di Wolfram MathWorld.

Il principio che governa la brachistocrona — la natura che "sceglie" il percorso che minimizza una quantità — riecheggia in tutta la fisica moderna, dal cammino della luce che si rifrange (principio di Fermat) fino alla meccanica che descrive il moto dei pianeti. Quella domanda apparentemente innocua su una pallina che scivola ha aperto una porta che ancora oggi non abbiamo finito di attraversare. Non male, per una sfida lanciata oltre tre secoli fa su una rivista latina.

L'intuizione geniale dietro la soluzione

Il modo in cui Johann Bernoulli risolse il proprio problema è quasi più affascinante della risposta. Invece di affrontarlo con la pura geometria, immaginò la pallina come un raggio di luce. Sapeva che la luce, attraversando mezzi di densità diversa, si piega seguendo il percorso che minimizza il tempo di viaggio, secondo il principio di Fermat. Bernoulli pensò allora di suddividere idealmente lo spazio in tanti sottili strati, in ciascuno dei quali la pallina, accelerando per effetto della gravità, viaggia sempre più veloce. Applicando a questo modello la legge della rifrazione, ricavò proprio l'equazione della cicloide.

Fu un colpo di genio: trasformare un problema di meccanica in uno di ottica, sfruttando un principio già noto. Questa capacità di vedere analogie nascoste tra campi diversi è una delle qualità che distinguono i grandi matematici, e mostra come la fisica e la matematica fossero, per gli studiosi del Seicento, due facce della stessa indagine sulla natura.

La cicloide, del resto, era già al centro dell'attenzione. Christiaan Huygens aveva dimostrato che un pendolo costretto a oscillare lungo un arco di cicloide batte il tempo con perfetta regolarità, indipendentemente dall'ampiezza dell'oscillazione, e aveva provato a sfruttare questa proprietà per costruire orologi più precisi. La stessa curva, dunque, risolveva due problemi apparentemente distinti: la discesa più rapida e l'oscillazione più regolare. Non stupisce che i matematici dell'epoca la chiamassero, con un misto di ammirazione e frustrazione, "l'Elena della geometria", bella e fonte di infinite contese.

Fonti e approfondimenti

Per la definizione e il contesto storico si vedano la voce brachistochrone della Britannica e la scheda di Wolfram MathWorld; la biografia di Johann Bernoulli sull'archivio MacTutor dell'Università di St Andrews ricostruisce nel dettaglio la sfida del 1696.