Tavoletta YBC 7289: come i babilonesi calcolarono la radice di 2 con 6 cifre esatte nel 1800 a.C.

È un dischetto di argilla del diametro di otto centimetri, scuro, segnato da incisioni cuneiformi. Sembra un sottobicchiere antico. Sopra ci sono inscritti un quadrato, le sue due diagonali e tre numeri. Quei tre numeri, letti nel sistema sessagesimale dei babilonesi, rivelano il calcolo della radice quadrata di 2 con un'accuratezza che la matematica europea avrebbe ritrovato solo nel Rinascimento. La tavoletta si chiama YBC 7289, è conservata a Yale, e risale all'epoca della prima dinastia di Babilonia: tra il 1800 e il 1600 a.C. La storia di questo manufatto è raccontata in dettaglio nella scheda della Yale Babylonian Collection.

Il sistema numerico più antico del mondo

I babilonesi usavano un sistema posizionale in base 60 (sessagesimale), eredità diretta dei sumeri. Lo stesso che oggi usiamo per misurare il tempo (60 minuti in un'ora) e gli angoli (360 gradi in un cerchio). Disponevano di due soli simboli cuneiformi — uno per l'unità, uno per la decina — che combinati permettevano di scrivere qualunque cifra fino a 59. La voce "Numeral" della Britannica spiega come questo sistema sia stato la prima vera notazione posizionale documentata.

Cosa c'è scritto sulla tavoletta

I tre numeri incisi sulla diagonale del quadrato sono, nella notazione cuneiforme:

• 30 — la lunghezza del lato del quadrato di riferimento
• 1; 24, 51, 10 — la radice di 2 espressa in base 60, ovvero 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000
• 42; 25, 35 — la lunghezza della diagonale, ottenuta moltiplicando 30 per la radice di 2

Convertendo 1; 24, 51, 10 in base decimale si ottiene 1,41421296.... Il valore moderno della radice di 2 è 1,41421356... La tavoletta è quindi esatta fino alla sesta cifra decimale, con un errore inferiore a un milionesimo. Il matematico David Fowler dell'Università di Warwick, in un articolo del 1998 su Historia Mathematica, dimostrò che il valore è quello che si ottiene applicando un algoritmo iterativo equivalente al moderno metodo di Newton-Raphson partendo dall'approssimazione 1; 25.

Come la trovarono

YBC 7289 fu acquistata dall'editore J.P. Morgan agli inizi del Novecento sul mercato antiquario del Vicino Oriente, dove confluivano i reperti — spesso scavati clandestinamente — provenienti dalle rovine di Babilonia, Larsa, Sippar e altre città mesopotamiche. Donata a Yale insieme alla cosiddetta Yale Babylonian Collection, fu studiata sistematicamente per la prima volta nel 1945 dal matematico e storico Otto Neugebauer, che ne pubblicò l'interpretazione completa nel volume Mathematical Cuneiform Texts. La storia è ricostruita anche in un articolo divulgativo della Mathematical Association of America.

Perché 1,41421 nel 1800 a.C. è incredibile

Il livello di precisione di YBC 7289 implica diverse cose:

• I babilonesi sapevano che la diagonale del quadrato è incommensurabile con il lato (anche se probabilmente non lo formalizzavano come faranno i greci con Ippaso di Metaponto, mille anni dopo).
• Avevano un algoritmo di approssimazione iterativa: parti da una stima, dividi 2 per quella stima, fai la media tra le due; ripeti. Bastano due iterazioni per ottenere il valore della tavoletta.
• Erano in grado di trasmettere il metodo: YBC 7289 non è un capolavoro isolato, è un esercizio scolastico. Esistono decine di tavolette "di esercizio" con problemi simili, quanto basta a dirci che il calcolo era parte del curriculum delle scribal schools babilonesi.

Il "Teorema di Pitagora" mille anni prima di Pitagora

Sulla tavoletta YBC 7289 si vede in azione la relazione tra diagonale e lato di un quadrato: d = l × √2. È un caso particolare del Teorema di Pitagora applicato a un triangolo rettangolo isoscele. Pitagora di Samo visse intorno al 570-495 a.C., cioè più di mille anni dopo. Un'altra tavoletta babilonese, Plimpton 322, conservata alla Columbia University, contiene una lista di terne pitagoriche e fu pubblicata nel 1945 sempre da Neugebauer. La ricostruzione del 2017 della University of New South Wales, firmata da Daniel Mansfield, sostiene che Plimpton 322 sia in realtà la più antica tavola trigonometrica conosciuta.

Dove vederla

YBC 7289 è esposta nella sezione babilonese del Peabody Museum of Natural History di Yale, a New Haven (Connecticut). La scheda di collezione include la foto ad altissima risoluzione, la trascrizione integrale dei segni cuneiformi e la bibliografia. Online è anche disponibile, per i ricercatori, l'intera digitalizzazione 3D della tavoletta.