Congettura di Collatz: il problema da bambini che nessuno sa risolvere

Esistono problemi di matematica così complessi che servono pagine solo per enunciarli. E poi esiste la congettura di Collatz, che si spiega a un bambino di otto anni in trenta secondi — e che, nonostante questo, nessun matematico al mondo è ancora riuscito a dimostrare. È uno dei più affascinanti misteri irrisolti della scienza.

Le regole del gioco

Prendete un qualsiasi numero intero positivo. Poi applicate due semplici regole:

• Se il numero è pari, dividetelo per 2.
• Se il numero è dispari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1.

Ripetete l'operazione sul risultato, all'infinito. Proviamo con il 6: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Arrivati a 1, la sequenza entra in un ciclo (1 → 4 → 2 → 1) e di fatto si ferma. La congettura afferma una cosa apparentemente banale: qualunque numero scegliate, prima o poi arriverete sempre a 1. Nessuno ha mai trovato un'eccezione. Ma nessuno ha mai dimostrato che un'eccezione non possa esistere.

I numeri "grandine"

Il fascino del problema sta nel comportamento imprevedibile delle sequenze. Alcuni numeri scendono rapidamente, altri schizzano verso l'alto prima di crollare. Il caso più celebre è il 27: invece di calare subito, la sua sequenza sale fino al picco di 9.232 e impiega ben 111 passaggi prima di raggiungere finalmente l'1. Per questo saliscendi imprevedibile, questi valori sono soprannominati "numeri grandine" (hailstone numbers): salgono e scendono come un chicco di grandine sballottato dalle correnti dentro un temporale, prima di cadere al suolo.

Una storia di frustrazione matematica

Il problema fu proposto nel 1937 dal matematico tedesco Lothar Collatz, e da allora ha collezionato una lunga serie di nomi (problema 3n+1, congettura di Ulam, problema di Syracuse) e di menti illustri rimaste a mani vuote. Il grande Paul Erdős, uno dei matematici più prolifici del Novecento, offrì 500 dollari a chi lo avesse risolto e sentenziò: "La matematica non è ancora pronta per problemi del genere".

La verifica al computer è andata avanti per decenni: oggi la congettura è stata controllata per tutti i numeri fino a circa 2,95 × 10²⁰ (cioè 2 elevato alla 68), e ha sempre funzionato. Ma in matematica un numero qualsiasi di esempi positivi non costituisce una dimostrazione: basterebbe un solo controesempio, magari un numero gigantesco mai testato, per far crollare tutto.

Il passo avanti di Terence Tao

Nel 2019 il matematico Terence Tao, medaglia Fields e considerato tra i più brillanti viventi, ha ottenuto il risultato più significativo degli ultimi anni. Nel lavoro Almost all Collatz orbits attain almost bounded values ha dimostrato che quasi tutti i numeri arrivano molto vicino a 1. Come ha spiegato la rivista Quanta Magazine, è un risultato potentissimo ma non risolutivo: quel "quasi" lascia ancora aperta la porta a possibili eccezioni, e una dimostrazione completa resta lontana. Lo stesso Tao ha ammesso che la congettura è probabilmente "fuori portata" con gli strumenti attuali.

Perché un problema così semplice è così difficile

La risposta sta nel cuore del problema: mescola due operazioni — moltiplicazione e divisione — che interagiscono in modo caotico con la struttura dei numeri. Le regole sono deterministiche, ma il risultato si comporta quasi come un processo casuale, sfuggendo a ogni regolarità che i matematici sappiano sfruttare. È il promemoria perfetto che, in matematica, semplicità e facilità non sono affatto la stessa cosa. A volte, le domande più innocenti nascondono gli abissi più profondi — e un problema che un bambino può capire può tenere in scacco l'intera comunità scientifica per quasi un secolo.