Il paradosso di Braess: quando una strada in più peggiora il traffico

C'è un'idea che fa a pugni con il buon senso di chiunque sia rimasto imbottigliato nel traffico: a volte, aprire una nuova strada peggiora la circolazione per tutti. Questo controintuitivo fenomeno ha un nome, il paradosso di Braess, e descrive reti in cui aggiungere un collegamento rallenta l'intero sistema invece di velocizzarlo. Non è un trucco né un caso isolato: è una proprietà matematica delle reti percorse da agenti che scelgono in modo egoista. E, sorprendentemente, riguarda non solo le automobili ma anche l'elettricità, le molle e Internet.

Chi era Braess e cosa scoprì nel 1968

Il paradosso prende il nome dal matematico tedesco Dietrich Braess, che nel 1968 pubblicò il celebre articolo Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung ("Su un paradosso della pianificazione del traffico") sulla rivista Unternehmensforschung. Braess, allora ricercatore e oggi professore emerito alla Ruhr-Universität di Bochum, dimostrò un risultato che sembrava un errore di calcolo: in una rete stradale, fornire ai guidatori una nuova scorciatoia può aumentare il tempo di percorrenza di tutti.

La chiave è che ciascun automobilista sceglie il percorso che conviene a sé, non quello che conviene alla collettività. Quando ognuno insegue il proprio vantaggio, la somma delle scelte individuali può condurre a una configurazione peggiore di quella che si otterrebbe con un coordinamento centrale. Il paradosso, insomma, non nasce dall'asfalto ma dalla logica delle decisioni.

Equilibrio di Nash contro ottimo sociale: un esempio con i numeri

Immaginiamo una rete con due nodi, Inizio e Fine, collegati da due itinerari. Lungo ciascun itinerario c'è un tratto "largo" il cui tempo è fisso, 45 minuti, indipendente dal numero di auto; e un tratto "stretto" il cui tempo dipende dal traffico, pari a N/100 minuti, dove N è il numero di veicoli che lo percorrono. Supponiamo che 4.000 automobili debbano andare da Inizio a Fine.

Senza scorciatoie, i guidatori si dividono equamente: 2.000 sul percorso superiore (stretto poi largo) e 2.000 su quello inferiore (largo poi stretto). Ognuno impiega 45 + 2.000/100 = 65 minuti. È una situazione equa e stabile.

Ora costruiamo una strada nuova, velocissima, che collega i due rami centrali con tempo praticamente nullo. Adesso un automobilista furbo può prendere il tratto stretto iniziale, saltare con la scorciatoia e prendere il secondo tratto stretto, evitando entrambi i tratti larghi da 45 minuti. Se lo facesse uno solo, ci guadagnerebbe. Ma tutti ragionano allo stesso modo, così tutte le 4.000 auto convergono sui due tratti stretti. Ciascun tratto stretto ora porta 4.000 veicoli: 4.000/100 = 40 minuti, più 40 dell'altro tratto stretto, per un totale di 80 minuti.

Aggiungendo una strada gratuita e istantanea, il tempo di viaggio è passato da 65 a 80 minuti per tutti. Nessuno può migliorare cambiando da solo percorso: è un equilibrio, ma un equilibrio peggiore.

Questo è il cuore della questione. La configurazione a 80 minuti è un equilibrio di Nash: data la scelta degli altri, a nessuno conviene deviare. Ma non è l'ottimo sociale, che resterebbe a 65 minuti se solo si potesse impedire a tutti di usare la scorciatoia. Demolire la strada nuova riporterebbe il sistema all'efficienza.

Il prezzo dell'anarchia

Quanto può costarci, in media, lasciare che ognuno faccia di testa propria? A questa domanda risponde un concetto elegante della teoria dei giochi: il prezzo dell'anarchia (price of anarchy), introdotto nel 1999 dagli informatici Elias Koutsoupias e Christos Papadimitriou. È il rapporto tra il costo del peggiore equilibrio raggiunto da agenti egoisti e il costo della soluzione ottima imposta da un pianificatore.

Pochi anni dopo, Tim Roughgarden ed Éva Tardos dimostrarono un risultato sorprendentemente netto per il traffico stradale: quando i tempi di percorrenza dipendono linearmente dal flusso, il prezzo dell'anarchia non supera mai 4/3. In altre parole, l'egoismo dei guidatori non può far perdere più di circa il 33% di efficienza rispetto al coordinamento perfetto. È un limite rassicurante, ma il paradosso di Braess mostra che persino entro questo margine la nostra intuizione su "più strade uguale meno traffico" può rovesciarsi.

Casi reali: New York, Seul, Stoccarda

Il paradosso non vive solo sulla carta. Il caso più citato è quello di New York. Il 22 aprile 1990, in occasione dell'Earth Day, la 42ª strada di Manhattan fu chiusa al traffico. Tutti si aspettavano il caos; invece la circolazione migliorò. L'episodio fu raccontato dalla giornalista Gina Kolata sul New York Times nell'articolo "What if They Closed 42d Street and Nobody Noticed?", pubblicato il 25 dicembre 1990, proprio in chiave di paradosso di Braess.

Un caso ancora più clamoroso è quello di Seul. Tra il 2003 e il 2005 la capitale sudcoreana demolì la sopraelevata Cheonggye, un'arteria a scorrimento veloce, per riportare alla luce il torrente Cheonggyecheon e creare un parco lineare. Eliminare una grande strada avrebbe dovuto strangolare il centro; invece i tempi di percorrenza nell'area diminuirono. Anche la città tedesca di Stoccarda è entrata negli annali: negli anni Sessanta un nuovo tratto stradale peggiorò la circolazione, e la situazione migliorò solo quando quel tratto venne richiuso al traffico.

Molle, circuiti e oltre il traffico

La cosa più affascinante è che il paradosso di Braess non è una stranezza delle automobili: è una proprietà universale delle reti in cui un flusso si distribuisce cercando un equilibrio. Nel 1991 i ricercatori Joel E. Cohen e Paul Horowitz lo dimostrarono per i sistemi fisici nell'articolo "Paradoxical behaviour of mechanical and electrical networks", pubblicato su Nature.

Cohen e Horowitz costruirono un sistema di molle e corde da cui pende un peso: tagliando una corda di collegamento, anziché far cadere il peso, lo si vede salire. Idearono anche un circuito elettrico analogo in cui aggiungere un percorso di conduzione aumenta la caduta di tensione complessiva. Sono gli equivalenti meccanico ed elettrico del traffico paralizzato dalla strada di troppo. Da allora il paradosso è stato osservato nelle reti elettriche di potenza, nelle reti di telecomunicazioni e perfino nei circuiti quantistici.

La lezione pratica è preziosa per chi progetta città e infrastrutture: ampliare una rete non è mai automaticamente un bene. A volte la mossa più efficiente è togliere un collegamento, non aggiungerlo. E la prossima volta che resterete fermi in coda, ricordate che il vero colpevole potrebbe non essere la strada che manca, ma proprio quella di troppo.