Congettura di Goldbach: il problema semplice che nessuno risolve

Prendete un numero pari qualsiasi, grande quanto volete. Otto? È 3 + 5. Cento? 47 + 53. Un milione? Si può fare, con due numeri primi. La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. È una frase che un bambino di dieci anni capisce in un minuto, eppure nessun matematico al mondo è ancora riuscito a dimostrarla. Da quasi tre secoli è uno dei più famosi problemi irrisolti della matematica.

Una lettera del 7 giugno 1742

Tutto comincia con una lettera. Il 7 giugno 1742 il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse all'amico Leonhard Euler, il più grande matematico dell'epoca, proponendo una sua osservazione sui numeri primi. Euler la riformulò nella versione che usiamo ancora oggi e rispose, in una lettera datata 30 giugno 1742, con una frase rimasta celebre: «Che ogni intero pari sia somma di due primi lo considero un teorema del tutto certo, benché non sia in grado di dimostrarlo». Quella confessione di impotenza del più brillante matematico del Settecento, riportata anche dalla voce Goldbach's conjecture, dà la misura della difficoltà del problema.

Perché è così difficile?

Il paradosso della congettura di Goldbach è che mette in relazione due mondi che parlano lingue diverse. I numeri primi sono creature della moltiplicazione: sono i mattoni indivisibili con cui si costruiscono tutti gli altri numeri. La somma, invece, è un'operazione di tutt'altra natura. Chiedere che ogni numero pari sia somma di due primi significa pretendere che gli "atomi moltiplicativi" si dispongano con regolarità anche rispetto all'addizione: un ponte fra due strutture che la matematica fatica enormemente a gettare. Più i numeri crescono, peraltro, più aumentano i modi di scriverli come somma di due primi, il che rende la congettura sempre più "robusta"; ma osservare una tendenza non equivale a dimostrarla per tutti gli infiniti numeri pari, come ricorda Wolfram MathWorld.

Forte e debole: due congetture in una

Gli specialisti distinguono due versioni. La congettura forte (o binaria) è quella classica: ogni pari maggiore di 2 è somma di due primi. La congettura debole (o ternaria) afferma che ogni numero dispari maggiore di 5 è somma di tre primi. La versione debole è, appunto, "più debole": se fosse vera la forte, seguirebbe automaticamente la debole. E proprio sulla versione debole è arrivato il risultato più clamoroso degli ultimi anni. Nel 2013 il matematico peruviano Harald Helfgott ha pubblicato una dimostrazione della congettura debole di Goldbach, combinando metodi analitici raffinati con un'enorme verifica al computer per i casi piccoli. Il lavoro è stato accolto con grande favore dalla comunità, anche se la sua pubblicazione integrale su rivista è stata un percorso lungo. La congettura forte, invece, resta aperta.

Nel corso del Novecento, però, i matematici si sono avvicinati per gradi. Già nel 1937 il russo Ivan Vinogradov dimostrò che ogni numero dispari sufficientemente grande è somma di tre primi, un primo, enorme passo verso la versione ternaria poi chiusa da Helfgott. Sul fronte della congettura forte, il risultato più impressionante è il teorema dimostrato nel 1966 dal cinese Chen Jingrun: ogni numero pari abbastanza grande è la somma di un numero primo e di un numero che ha al massimo due fattori primi. È a un soffio dall'obiettivo — "primo più quasi-primo" invece di "primo più primo" — ma quel soffio, finora, non è stato colmato da nessuno.

C'è anche un modo visivo per "vedere" la congettura: contando, per ogni numero pari, in quanti modi diversi lo si può scrivere come somma di due primi, si ottiene un grafico dalla forma caratteristica chiamato cometa di Goldbach. All'aumentare dei numeri quel conteggio non scende mai a zero, ma tende anzi a crescere e a disporsi in fasce regolari: un comportamento ordinato che rafforza la fiducia nella verità della congettura, senza però dimostrarla.

Miliardi di prove, zero dimostrazioni

Nel frattempo i computer hanno macinato numeri. Il matematico Tomás Oliveira e Silva ha verificato la congettura forte per ogni numero pari fino a 4×10¹⁸, cioè quattro miliardi di miliardi: nessuna eccezione. Eppure, come spiega bene il portale specialistico Prime Pages, questo non costituisce una dimostrazione. In matematica un controesempio può nascondersi a qualsiasi altezza, e verificare infiniti casi è impossibile per definizione. La storia è piena di congetture sui numeri che reggevano per cifre astronomiche e poi crollavano: per questo i matematici diffidano dell'evidenza numerica e pretendono una prova logica valida per ogni caso.

Un milione di dollari? No, ma la gloria sì

A differenza dell'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach non figura tra i problemi del millennio premiati con un milione di dollari dal Clay Mathematics Institute. Ha però avuto un suo curioso "premio": nel 2000, per promuovere il romanzo Zio Petros e la congettura di Goldbach dello scrittore Apostolos Doxiadis, un editore mise in palio un milione di dollari per chi l'avesse dimostrata entro due anni. Nessuno riuscì a reclamarlo. Oggi la congettura resta lì, sospesa fra la sua disarmante semplicità e la sua resistenza assoluta: la prova più elegante che, in matematica, capire una domanda e saper rispondere sono due cose lontanissime. Da quella lettera di quasi 284 anni fa, i numeri primi continuano a custodire il loro segreto.