Numero di Eulero: perche la costante e=2,718 compare ovunque in natura

Se chiediamo a qualcuno una costante matematica famosa, otteniamo quasi sempre la stessa risposta: pi greco. Ne esiste pero una seconda altrettanto fondamentale, che molte persone non riconoscono nemmeno per nome: il numero di Eulero, indicato con la lettera e, che vale circa 2,71828. A differenza di pi greco, non viene da una forma geometrica. Viene dalla crescita: e il numero che descrive tutti i fenomeni in cui qualcosa aumenta o diminuisce in modo proporzionale a se stesso. Un virus che si diffonde, un capitale che frutta interessi, un materiale radioattivo che decade. Sotto, c'e sempre lui.

Una scoperta nata dietro a un banco

La prima persona a imbattersi nel numero e non fu Leonhard Euler, ma il matematico svizzero Jacob Bernoulli, che nel 1683 stava studiando l'interesse composto. La domanda era questa: se un banchiere promette il 100% di interesse annuo su un capitale di 1 euro, quanto otteniamo se l'interesse viene capitalizzato non una volta sola, ma 12 volte all'anno? E se 365? E ogni secondo? Bernoulli mostro che il valore non cresce all'infinito: si avvicina a un numero ben preciso, che vale circa 2,718. Quel limite e proprio e. La voce dell'Enciclopedia Britannica dedicata alla costante racconta la genesi con chiarezza esemplare.

Il nome lo regalo Eulero (non a se stesso)

Il simbolo e compare per la prima volta nei taccuini di Leonhard Euler intorno al 1727 e fa il suo ingresso ufficiale nella matematica nel 1736 con il trattato Mechanica. Non e chiaro se Euler scelse la lettera per exponential o semplicemente per la prima vocale libera dopo a: per modestia non scelse mai e di Euler. Resta uno dei pochi casi in cui una costante porta il nome di chi le ha dato il nome, non di chi l'ha scoperta. La storia dell'adozione e ricostruita in dettaglio nella voce di Wikipedia in inglese, che riporta anche le edizioni originali dei manoscritti.

Perche compare ovunque in natura

La proprieta che rende e speciale e questa: la funzione e^x e l'unica (a parte le sue multiple costanti) la cui derivata e uguale a se stessa. Detto a parole semplici, il tasso di variazione e proporzionale al valore istantaneo. Ogni fenomeno in cui questo accade lo incontra. Eccone alcuni:

• Decadimento radioattivo: il numero di nuclei che si disintegrano in un istante e proporzionale a quanti ne restano. La curva e una esponenziale di base e. La pagina del Nuclear Regulatory Commission USA mostra le formule.
• Crescita di popolazioni: dai batteri in coltura alla diffusione di un virus, l'equazione differenziale dN/dt = kN ha soluzione N(t) = N0 e^{kt}.
• Raffreddamento: la legge di Newton afferma che la temperatura di un corpo si avvicina a quella dell'ambiente con un andamento esponenziale.
• Statistica: la distribuzione normale, la celebre curva a campana di Gauss, contiene e nella sua formula. Senza, non funzionerebbe.

L'identita piu bella della matematica

Nel 1748 Euler dimostro una formula che molti matematici considerano la piu elegante mai scritta: e^{iπ} + 1 = 0. In sette simboli mette insieme cinque numeri fondamentali (0, 1, π, e, l'unita immaginaria i) e le tre operazioni base (somma, prodotto, elevamento a potenza). Il fisico Richard Feynman la definiva la formula piu straordinaria della matematica, e in un saggio scolastico del 1933 si limito a scrivere accanto: la nostra gioia. Il portale Plus Magazine dell'Universita di Cambridge ne offre una spiegazione divulgativa molto accessibile.

e e irrazionale, e anche piu

Charles Hermite dimostro nel 1873 che e e un numero trascendente: non solo non e razionale (non e il rapporto di due interi), ma non e nemmeno radice di nessun polinomio a coefficienti razionali. La trascendenza fu una svolta storica: aprì la strada a Lindemann che, otto anni dopo, mostrò la trascendenza di pi greco e chiuse cosi il problema della quadratura del cerchio, aperto da oltre duemila anni. La dimostrazione originale di Hermite e ancora oggi consultabile sugli archivi storici dei Comptes Rendus dell'Accademia delle Scienze francese.

Domande frequenti

• e e infinito di cifre come pi greco? Si, e irrazionale e trascendente. Le sue cifre decimali non terminano e non si ripetono mai. Al 2020 ne erano state calcolate oltre 31 mila miliardi.
• Perche si dice "di Eulero" se Bernoulli arrivo prima? Perche fu Euler a introdurre la notazione, a dimostrarne molte proprieta e ad usarlo sistematicamente nei propri lavori. Il nome riconosce l'opera, non la primogenitura.
• Si usa e nella vita di tutti i giorni? Indirettamente, si: l'intero settore finanziario, demografico, epidemiologico, ingegneristico e farmacologico costruisce modelli a base esponenziale, quindi su e.

Pi greco ha goduto di un servizio stampa migliore: ha un giorno dedicato (14 marzo), una pellicola di Darren Aronofsky, persino una poesia di Wisława Szymborska. Eppure se la curva della pandemia di COVID-19 viene chiamata esponenziale, e se i logaritmi del telefono cellulare riescono a comprimere milioni di livelli sonori in pochi numeri, e per merito della costante 2,718. Una cifra che si nasconde dietro a quasi tutto, in attesa, magari, di un suo film d'autore.