Il 'cappello': la piastrella unica che ricopre il piano senza mai ripetersi

Nel marzo del 2023 il mondo della matematica è stato scosso da una scoperta che molti consideravano forse impossibile: una singola piastrella, una sola forma geometrica, capace di ricoprire un pavimento infinito senza che il disegno si ripeta mai. La forma è stata soprannominata "il cappello" (in inglese the hat) e la sua scoperta ha risolto un problema rimasto aperto per oltre mezzo secolo. A trovarla, sorprendentemente, non è stato un professore universitario, ma un appassionato dilettante.

Il problema dell'einstein

Per capire la portata della scoperta serve un po' di contesto. Le piastrelle di un bagno tradizionale ricoprono il piano in modo periodico: il motivo si ripete identico, e se si fa scorrere il disegno della giusta quantità, combacia di nuovo con se stesso. I matematici si chiedevano da tempo se esistesse una tassellatura aperiodica: un modo di ricoprire il piano in cui il disegno non si ripete mai.

La risposta arrivò già negli anni Sessanta e Settanta, ma con un limite. Le celebri piastrelle ideate dal fisico Roger Penrose nel 1974, per esempio, riescono nell'impresa, ma servono due forme diverse. La domanda diventò allora: esiste una singola forma capace, da sola, di tassellare il piano solo in modo aperiodico? Questo ipotetico pezzo unico venne ribattezzato "einstein", non in onore del fisico, ma per un gioco di parole con il tedesco ein Stein, "una pietra", cioè una sola tessera.

La scoperta di un dilettante

A trovare l'einstein è stato David Smith, un appassionato di forme geometriche dello Yorkshire, in Inghilterra, che giocava con le tassellature per hobby. Notando che una certa figura a 13 lati - assemblabile come una sorta di cappello - sembrava non voler mai generare un motivo ripetitivo, contattò esperti del settore. Si formò così un team con l'informatico Craig Kaplan dell'Università di Waterloo, il matematico Joseph Samuel Myers e Chaim Goodman-Strauss dell'Università dell'Arkansas.

Insieme, dimostrarono rigorosamente che "il cappello" tassella il piano e che lo fa esclusivamente in modo aperiodico. I risultati furono resi pubblici in un articolo preliminare intitolato An aperiodic monotile, depositato sull'archivio scientifico arXiv il 20 marzo 2023. Come ha raccontato un approfondimento dell'Università di Cambridge, la notizia fece rapidamente il giro non solo della comunità matematica, ma anche dei media generalisti.

Un piccolo problema con lo specchio

La scoperta aveva un dettaglio che lasciava qualche matematico insoddisfatto: per completare la tassellatura, "il cappello" aveva bisogno anche della propria immagine speculare, cioè della versione riflessa. C'era chi obiettava che, contando il pezzo e il suo riflesso come due tessere distinte, non si trattasse di un vero einstein "puro".

Il team rispose in fretta. Pochi mesi dopo, nel giugno 2023, annunciò una seconda forma, soprannominata "lo spettro" (the spectre), capace di tassellare il piano in modo aperiodico senza mai ricorrere alla propria immagine speculare. Come riportato anche da testate scientifiche divulgative, lo spettro chiuse definitivamente la questione: l'einstein esisteva davvero, ed era stato trovato.

Come si dimostra che non si ripete "mai"

Una domanda sorge spontanea: come si fa a dimostrare che un motivo non si ripetera' mai, se il piano e' infinito e nessuno puo' controllarlo tutto? Qui sta l'eleganza del lavoro del team. La prova non procede per tentativi, ma per ragionamento: i matematici hanno mostrato che le piastrelle "cappello" si organizzano in raggruppamenti via via piu' grandi, secondo una struttura gerarchica che si ripete su scale sempre diverse senza mai chiudersi in un motivo che combaci con se stesso per semplice traslazione.

E' un'idea simile a quella dei frattali: ordine e regole precise a ogni livello, ma assenza di una vera periodicita'. Proprio per questo le tassellature aperiodiche affascinano matematici, artisti e designer: uniscono il rigore alla varieta' infinita. Non sorprende che, subito dopo l'annuncio, "il cappello" sia comparso su magliette, piastrelle decorative e persino tatuaggi, diventando in poche settimane un piccolo fenomeno di costume oltre che una pietra miliare scientifica.

Perché è importante

Si potrebbe pensare che si tratti di un puro gioco intellettuale, ma le tassellature aperiodiche hanno legami profondi con la fisica e la chimica. Sono strettamente imparentate con i quasicristalli, strutture della materia ordinate ma non periodiche, la cui scoperta valse il premio Nobel per la chimica nel 2011. Capire come una forma possa generare ordine senza ripetizione aiuta a comprendere come gli atomi si dispongano in questi materiali esotici.

Ma forse la cosa più affascinante è un'altra: un problema che aveva resistito per decenni ai più grandi specialisti è stato sbloccato dall'intuizione di un dilettante che giocava con dei ritagli di carta. È la dimostrazione che, in matematica, la curiosità e la pazienza valgono ancora quanto i titoli accademici, e che persino oggi una scoperta epocale può nascere sul tavolo di cucina di qualcuno.