Triangolo di Penrose: l'oggetto impossibile che ha ispirato Escher e oggi insegna ai computer a "vedere"

Disegnatelo: tre barre prismatiche unite ad angolo retto. La prima sale, la seconda piega in profondità, la terza si chiude sulla prima. Sulla carta funziona. Provate a costruirlo in metallo, ed è impossibile. È il triangolo di Penrose — o tribar — la più celebre delle figure impossibili, una geometria che la nostra percezione accetta perché interpreta l'immagine come tridimensionale, mentre la matematica euclidea la rifiuta come incoerente. Roger Penrose, che ne pubblicò la prima trattazione scientifica nel 1958 e che nel 2020 ha ricevuto il Premio Nobel per la fisica per i suoi lavori sui buchi neri, lo ha definito «l'impossibilità nella sua forma più pura».

1934: uno studente svedese in tram

La prima rappresentazione del tribar non è inglese, ma svedese. Nel 1934 il diciassettenne Oscar Reutersvärd, mentre tornava a casa in tram dopo una lezione di latino a Stoccolma, disegnò sul margine di un libro una sequenza di sette cubi disposti in modo da formare un triangolo chiuso. La figura, ricorda la voce dedicata su Wikipedia, sembrava regolare al primo sguardo ma non poteva esistere nello spazio tridimensionale. Reutersvärd ne disegnò poi altre 2.500 nei decenni successivi e nel 1982 la Svezia ne stampò una sui propri francobolli. In Occidente però la figura passò inosservata: rimase confinata alla cultura visiva scandinava.

1954: Penrose ascolta Escher a un congresso ad Amsterdam

La storia del tribar prende svolta in occasione del Congresso Internazionale dei Matematici tenutosi ad Amsterdam nel 1954. Tra le esposizioni collaterali, ce ne era una dedicata al grafico olandese M.C. Escher, allora già celebre per le sue litografie di scale infinite e mondi specchiati. Tra i visitatori c'era un giovane matematico inglese, Roger Penrose, all'epoca dottorando a Cambridge. Tornato a Londra, Penrose iniziò a disegnare oggetti che combinassero continuità apparente e contraddizione globale. Approdò così alla forma chiusa che oggi porta il suo nome.

1958: l'articolo che lo rese famoso

Nel febbraio 1958, Roger Penrose e suo padre Lionel Penrose, genetista e psichiatra, pubblicarono sul British Journal of Psychology un articolo dal titolo «Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion». La nota — citata anche nella scheda della collezione del Science Museum Group — mostrava sia il tribar sia la celebre scala impossibile. Inviarono il loro estratto a Escher, che ne rimase colpito al punto di basarci due delle sue litografie più famose: Salita e discesa (1960), costruita sulla scala impossibile dei Penrose, e Cascata (1961), che incorpora tre triangoli di Penrose intrecciati.

Matematicamente: cosa rompe il triangolo?

Il tribar non è soltanto un trucco visivo: ha una caratterizzazione matematica precisa. La scheda Wolfram MathWorld dedicata al triangolo richiama un teorema dimostrato dal matematico canadese Roger Penrose nel 1992: la figura può essere realizzata in 3D in un solo modo, cioè se la si vede da un unico punto di vista e gli angoli che sembrano retti in realtà non lo sono. Spostando di pochi centimetri lo sguardo, la struttura si rivela essere un oggetto aperto, con un capo che si sovrappone all'altro nello spazio. La voce Impossible object di Wikipedia ricorda che nel parco Claisebrook Square di Perth, in Australia, esiste una scultura in metallo del tribar che funziona perfettamente — ma solo se la fotografate da un punto preciso segnalato da una piastrella.

L'eredità: dai videogiochi alla computer vision

Negli ultimi quarant'anni il tribar è uscito dalla psicologia per entrare in:

• Logo aziendali e culturali, dal cinema (la copertina di Inception di Nolan, 2010) alla letteratura;
• Video-game design, dove serie come Monument Valley (2014) hanno costruito interi puzzle sulle figure di Penrose ed Escher;
• Computer vision: gli algoritmi di ricostruzione 3D da singola immagine vengono spesso testati proprio sui tribar, perché identificarli come impossibili è una delle prove di robustezza percettiva di un sistema artificiale.

Domande frequenti

Il tribar è davvero impossibile? Sì, nello spazio euclideo tridimensionale standard. Esistono però superfici non orientabili o spazi quoziente in cui figure analoghe sono coerenti.

Esiste un "triangolo di Reutersvärd"? In Svezia si chiama spesso così. Penrose stesso, in un'intervista del 2010, ha riconosciuto la priorità di Reutersvärd.

Perché il cervello «cade nella trappola»? Perché il sistema visivo umano interpreta gli incroci come spigoli convessi, e applica la regola «più semplice spiegazione» — l'oggetto 3D — senza controllare la coerenza globale.