Il paradosso del compleanno: bastano 23 persone per una coincidenza

Sei a una festa con altre 22 persone. Qual è la probabilità che almeno due dei presenti compiano gli anni lo stesso giorno? La maggior parte della gente risponde "bassissima": gli anni hanno 365 giorni, e siamo solo in 23. Eppure la risposta corretta è che la probabilità supera il 50%. È più probabile che ci sia una coppia di "gemelli di compleanno" che il contrario. Questo risultato sconcertante è noto come paradosso del compleanno, ed è uno degli inganni più istruttivi della probabilità.

Perché il nostro intuito sbaglia

L'errore nasce da un fraintendimento della domanda. Istintivamente pensiamo: "Quante probabilità ho che qualcun altro compia gli anni nel mio stesso giorno?". In effetti quella probabilità è bassa. Ma la domanda è diversa: stiamo chiedendo che due persone qualsiasi del gruppo condividano una data, e questo cambia tutto.

La chiave sta nel numero di confronti possibili. Con 23 persone non abbiamo 23 possibilità di coincidenza, ma tutte le coppie che si possono formare: e le coppie sono molte di più. In un gruppo di 23 individui si possono formare 253 coppie diverse (ogni persona confrontata con ogni altra). Ognuna di queste 253 coppie ha una piccola probabilità di condividere il compleanno, e sommando tutte queste possibilità il totale cresce in fretta ben oltre il 50%.

La matematica, passo dopo passo

Il modo più semplice per calcolarlo è ragionare al contrario, chiedendosi quale sia la probabilità che nessuno condivida il compleanno. La prima persona può essere nata in un giorno qualsiasi. La seconda, per non coincidere, ha 364 giorni "liberi" su 365. La terza ne ha 363, la quarta 362, e così via. Moltiplicando tutte queste frazioni si ottiene la probabilità che siano tutti diversi.

Facendo i conti per 23 persone, la probabilità che siano tutti i compleanni diversi scende a circa il 49,3%. Di conseguenza, la probabilità che almeno due coincidano è il complemento, ossia circa il 50,7%. E la curva continua a salire ripidamente: con 50 persone la probabilità di una coincidenza è del 97%, e con 70 persone raggiunge il 99,9%. Già con 57 persone, come spiega la trattazione enciclopedica del problema, la quasi-certezza è praticamente raggiunta.

Non un trucco, ma un fenomeno reale

Il paradosso del compleanno non è un'illusione matematica: si può verificare nella pratica. Un esempio classico è il campionato di calcio. In una squadra titolare con l'arbitro si raggiungono 23 persone in campo, e statisticamente in circa metà delle partite due di loro condividono il compleanno. Analisi condotte sulle rose dei mondiali di calcio hanno effettivamente confermato la presenza di numerose coppie di compleanni coincidenti, esattamente come prevede la teoria.

Si chiama "paradosso" non perché contenga una contraddizione logica, ma perché il risultato urta violentemente contro il senso comune. È un promemoria di quanto la nostra intuizione sia inaffidabile quando si tratta di probabilità e di grandi numeri di combinazioni: il cervello umano tende a sottostimare drasticamente la rapidità con cui crescono le possibilità di incontro.

Una variante ancora più estrema

Se il risultato classico vi sembra gia' sorprendente, ce n'e' uno che lo e' ancora di piu'. Se invece di chiedere due compleanni esattamente uguali ci accontentiamo di due compleanni a non piu' di un giorno di distanza, il numero di persone necessario per superare il 50% crolla a circa 14. Allargando ulteriormente la finestra, bastano pochissimi individui. Il motivo e' sempre lo stesso: ammorbidendo la condizione, ogni coppia ha una probabilita' maggiore di "andare a segno", e le coppie restano tantissime.

Vale la pena ricordare anche un'assunzione nascosta nel calcolo classico: si suppone che tutti i giorni dell'anno siano ugualmente probabili come data di nascita. Nella realta' le nascite non sono distribuite in modo perfettamente uniforme lungo l'anno, ma questo, anziche' indebolire il paradosso, lo rafforza leggermente: qualsiasi sbilanciamento nella distribuzione aumenta, sia pur di poco, la probabilita' di coincidenze. La formalizzazione matematica del problema viene spesso attribuita al lavoro del matematico Richard von Mises, negli anni Trenta.

Dalle feste alla cybersecurity

Questo principio ha conseguenze molto concrete, ben oltre i giochi da salotto. In informatica esiste il cosiddetto "attacco del compleanno" (birthday attack), una tecnica crittografica che sfrutta proprio questa matematica. Le funzioni che generano "impronte digitali" dei dati (gli hash) dovrebbero produrre valori sempre diversi, ma il paradosso del compleanno mostra che le collisioni - due dati diversi con la stessa impronta - diventano probabili molto prima di quanto sembri. Come illustra anche un approfondimento del portale di divulgazione matematica Plus Magazine, è per questo che gli esperti progettano hash con un numero astronomico di possibili valori.

La prossima volta che vi troverete a una festa o a una riunione con una ventina di persone, provate a chiederlo: c'è una buona probabilità che due di voi soffino le candeline lo stesso giorno. E se accade, ora sapete che non è una coincidenza straordinaria, ma semplicemente la matematica che fa il suo lavoro.