Triangolo di Reuleaux: la figura non rotonda che rotola perfettamente (e perché il 50p inglese ne ha la forma)

Se appoggiate un cerchio tra due righelli paralleli e lo fate rotolare, la distanza tra i due righelli non cambia mai. Questa proprietà sembra esclusiva del cerchio, ma non lo è: esiste un'intera famiglia di figure piane, dette curve di larghezza costante, che si comportano allo stesso modo. La più semplice, dopo il cerchio, è il triangolo di Reuleaux: tre archi di circonferenza disegnati ciascuno con centro nel vertice opposto. Sembra un triangolo equilatero gonfiato, e la sua "larghezza" — misurata in qualsiasi direzione — resta sempre uguale al raggio scelto.

Chi era Franz Reuleaux

La figura porta il nome di Franz Reuleaux (1829–1905), ingegnere tedesco docente alla Technische Hochschule Charlottenburg di Berlino. Reuleaux non scoprì la curva, già nota a Leonhard Euler nel Settecento, ma fu il primo a usarla sistematicamente come componente meccanico: nel suo trattato del 1875 Theoretische Kinematik dedica pagine al modo in cui questa forma genera moti precisi nei meccanismi a camma. La voce di Wikipedia raccoglie la storia matematica completa, dalla dimostrazione di Hermann Minkowski del 1903 sulla larghezza costante al teorema di Wilhelm Blaschke e Henri Lebesgue (1914) che dimostra come, tra tutte le curve di larghezza fissata, il triangolo di Reuleaux è quella con area minima.

Le monete da 20 e 50 pence britanniche

L'esempio più popolare di applicazione è nelle tasche dei britannici. Le monete da 50 pence introdotte nel 1969 e quelle da 20 pence del 1982 non sono ettagoni regolari: sono ettagoni di Reuleaux, cioè con i lati sostituiti da archi di cerchio. La Royal Mint spiega che la scelta servì a renderle riconoscibili al tatto pur garantendo il funzionamento dei distributori automatici: una moneta di larghezza costante rotola dentro le macchine come se fosse rotonda, e i lettori meccanici basati su misurazione del diametro non si accorgono della differenza. Lo stesso principio è stato adottato dalla Banca del Canada e, in formato ettagonale, dal real brasiliano e dalle monete delle Bermuda.

La punta da trapano che fora buchi quadrati

La proprietà più controintuitiva del triangolo di Reuleaux è la sua capacità di muoversi all'interno di un quadrato toccandone sempre tutti e quattro i lati. Combinata con un meccanismo a giunto eccentrico, questa caratteristica permette di realizzare una punta da trapano che produce fori quadrati. Il brevetto risale al 1914 ed è firmato da Harry James Watts, un ingegnere britannico emigrato negli Stati Uniti (US Patent 1241175). Il foro ottenuto non è un quadrato matematico perfetto: i quattro angoli risultano leggermente arrotondati. Una spiegazione tecnica con animazioni si trova sul sito Scientific American.

Il rotore Wankel

L'industria automobilistica conosce bene il triangolo di Reuleaux per un'altra ragione. Nel motore Wankel brevettato da Felix Wankel nel 1957, il pistone non è cilindrico ma triangolare: una forma quasi identica al triangolo di Reuleaux, che ruotando dentro una camera lobata genera tre tempi di lavoro per ogni giro. Mazda lo ha prodotto in serie sulle RX-7 e RX-8 e ne ha rilanciato una versione ibrida nella MX-30 R-EV del 2023, dove un piccolo Wankel di 830 cc fa da generatore elettrico. La camera di combustione di un Wankel non è un perfetto triangolo di Reuleaux — le linee laterali sono epitrocoidi corrette — ma il design discende direttamente dalla geometria descritta dall'ingegnere di Berlino nel 1875.

Il mito dei tombini rotondi

Spesso si legge che i tombini sono circolari per evitare che il coperchio cada nella buca: vero, ma con una precisazione importante. Qualunque curva di larghezza costante, compreso il triangolo di Reuleaux, garantirebbe la stessa proprietà. Sulla rivista Plus Magazine dell'Università di Cambridge l'argomento è affrontato in dettaglio: il cerchio vince perché è più facile da lavorare al tornio e non richiede di essere ruotato in un orientamento specifico per chiudere la buca, ma matematicamente non è l'unica soluzione possibile. A San Francisco, di fatto, alcuni chiusini storici hanno la forma di triangoli di Reuleaux: piccoli omaggi cittadini a una geometria nata in un'aula di Berlino e finita nei pavimenti dell'America.