Insieme di Mandelbrot: il 1° marzo 1980 nasce il frattale più famoso della matematica

Il 1° marzo 1980, in un laboratorio del Thomas J. Watson Research Center di IBM a Yorktown Heights, nello stato di New York, una stampante a tamburo cominciò a produrre una figura che nessuno aveva mai visto: una macchia nera grosso modo a forma di cardioide, circondata da bolle più piccole, e attorno a queste un'esplosione di filamenti, spirali, mini-copie identiche dell'oggetto principale. Il matematico francese di origine polacca Benoît Mandelbrot, 56 anni, guardò la stampa per qualche minuto e poi disse al suo assistente Mark Laff: 'rifai il calcolo, dev'esserci un errore'. Nessun errore: era la prima immagine dell'insieme che oggi porta il suo nome.

Cinque righe di codice e l'infinito

L'insieme è definito da una procedura tanto semplice da poter stare su una busta postale. Si prende un numero complesso c, si comincia con z₀ = 0, e si itera la formula:

z_n+1 = z_n² + c

Se dopo molte iterazioni la sequenza resta limitata (cioè le z_n non scappano verso l'infinito), il punto c appartiene all'insieme di Mandelbrot. Se invece scappa, non gli appartiene; la velocità con cui scappa determina il colore con cui i programmi disegnano i contorni. La cosa straordinaria è che da questa istruzione di tre righe nasce una figura di complessità infinita: il bordo dell'insieme ha dimensione di Hausdorff esattamente uguale a 2, dimostrato dal matematico giapponese Mitsuhiro Shishikura nel 1991. Significa che, pur essendo una curva, riempie il piano come una superficie.

Chi è il vero scopritore

Storicamente l'insieme era già apparso, sotto altra forma, nei lavori del 1978 di Robert W. Brooks e Peter Matelski, che pubblicarono i primi grafici a bassissima risoluzione studiando i gruppi kleiniani. Quei grafici erano talmente grezzi che non si vide nulla di particolarmente bello. Fu Mandelbrot, due anni dopo, a generarlo con la potenza di calcolo IBM e a riconoscere, una volta visto in alta definizione, la sua natura frattale.

'Frattale' è una parola che aveva inventato lui stesso, dal latino fractus (rotto, irregolare), per indicare oggetti geometrici che mantengono dettaglio identico a ogni scala di osservazione. Nel libro del 1982 The Fractal Geometry of Nature, Mandelbrot estese il concetto alle coste della Bretagna, ai polmoni, al sistema venoso, alle nubi cumuliformi, alle fluttuazioni dei prezzi del cotone (di cui si era occupato anni prima alla IBM). La sua tesi: la geometria euclidea — fatta di rette, cerchi, triangoli — è una pessima approssimazione del mondo naturale.

L'insieme che contiene sé stesso

Aprire un programma di zoom sull'insieme di Mandelbrot è uno dei modi più semplici, oggi, per provare vertigine matematica. Ingrandendo i bordi della cardioide principale, dopo qualche zoom appaiono delle mini-Mandelbrot, copie esatte (ma non identiche al pixel) dell'insieme di partenza, immerse in un mare di filamenti diversi a ogni livello. Ingrandendo ulteriormente le mini-copie, se ne trovano altre, più piccole, e così via fino al limite della precisione numerica del computer. La proprietà che l'insieme contiene infinite copie di sé stesso a tutte le scale è stata dimostrata rigorosamente da Adrien Douady e John Hubbard nel 1985.

Una matematica anche pratica

La geometria frattale non è restata un gioco estetico. Si usa per modellare antenne in miniatura (un'antenna frattale di Cohen del 1988 permette di ricevere più bande su una superficie minima), nella compressione di immagini (Michael Barnsley, 1988), nei modelli di crescita di reti neurali, di vasi sanguigni, di alberi virtuali per il cinema. Una delle aree più vive è oggi la dimostrazione della congettura MLC (Mandelbrot Locally Connected), proposta da Douady e Hubbard, che riguarda la connettività locale dei bordi dell'insieme. È rimasta aperta dal 1982; nel 2024 il matematico statunitense Jeremy Kahn ne ha annunciato una dimostrazione parziale, ancora in via di verifica.

Mandelbrot, il rifugiato della scienza

Benoît Mandelbrot (1924-2010) era nato a Varsavia e nel 1936, dieci anni, fuggì con la famiglia in Francia per le leggi antisemite polacche. Studiò con Paul Lévy a Parigi, lavorò all'École Polytechnique e poi a IBM, che gli garantì libertà di ricerca quando le università francesi gli rifiutavano i posti perché 'non era un matematico classico'. Morì il 14 ottobre 2010 a Cambridge, Massachusetts, due settimane prima della sua tradizionale conferenza per TED, dove aveva ipnotizzato il pubblico con i frattali. Sulla sua lapide a Cambridge ci sono, semplicemente, le parole: Father of fractal geometry.