Problema dei tre corpi: l'equazione che fece nascere il caos

Due corpi che si attraggono per gravità — la Terra e la Luna, il Sole e un pianeta — si muovono lungo traiettorie che Isaac Newton seppe descrivere con un'equazione chiusa già nel 1687: ellissi, parabole o iperboli, prevedibili per sempre. Aggiungete un terzo corpo e la stessa fisica, identica nelle sue leggi, smette di offrire una risposta pulita. Il problema dei tre corpi non ha una soluzione generale in forma chiusa, e proprio questo vuoto matematico, alla fine dell'Ottocento, fece nascere una delle idee più rivoluzionarie della scienza: il caos deterministico.

Da Newton a una domanda senza risposta

Con due masse il calcolo si semplifica: si fissa il baricentro e il moto relativo si riduce a un'unica orbita conica. Con tre masse le incognite si moltiplicano e le equazioni differenziali che le governano non ammettono un numero sufficiente di quantità conservate per essere "integrate", cioè risolte con una formula valida a ogni istante. Per più di un secolo i più grandi matematici — da Eulero a Lagrange — cercarono soluzioni particolari, riuscendo solo in casi molto speciali. La domanda di fondo restava aperta: il Sistema Solare è stabile, o prima o poi un pianeta verrà espulso?

Poincaré e l'errore che cambiò la fisica

Nel 1889 il re Oscar II di Svezia mise in palio un premio per chi avesse dimostrato la stabilità del Sistema Solare. Lo vinse il francese Henri Poincaré, ma con un colpo di scena: mentre la sua memoria veniva stampata, l'autore stesso scoprì un errore. Correggendolo, si rese conto che le traiettorie del problema ristretto a tre corpi potevano intrecciarsi in modo infinitamente complicato. Come ricostruisce la biografia curata dall'archivio di storia della matematica dell'Università di St Andrews, fu lì che Poincaré intravide per primo ciò che oggi chiamiamo comportamento caotico.

Sensibilità alle condizioni iniziali

Il cuore della scoperta è quello che oggi sintetizziamo con l'immagine dell'effetto farfalla: in un sistema caotico una variazione minima delle condizioni di partenza produce traiettorie che divergono in modo esponenziale. Il sistema resta perfettamente deterministico — le leggi non cambiano — ma diventa impredicibile nel lungo periodo, perché non potremo mai conoscere le posizioni iniziali con precisione infinita. È la stessa idea che il meteorologo Edward Lorenz formalizzerà negli anni Sessanta e che la voce dedicata alla teoria del caos dell'Enciclopedia Britannica fa risalire proprio agli studi di meccanica celeste di Poincaré.

Le rare orbite che si possono disegnare

Se la soluzione generale non esiste, esistono però soluzioni speciali di rara eleganza. Eulero e Lagrange, nel Settecento, individuarono configurazioni in cui i tre corpi mantengono posizioni relative fisse: sono i cinque punti di Lagrange, regioni di equilibrio gravitazionale che oggi ospitano sonde reali. Come spiega la scheda divulgativa della NASA sui punti di Lagrange, il telescopio spaziale James Webb orbita attorno al punto L2 del sistema Sole-Terra proprio sfruttando questa stabilità.

Più di recente la matematica ha trovato vere e proprie coreografie. La celebre orbita a otto, in cui tre masse uguali si rincorrono lungo la stessa curva, fu individuata numericamente da Cris Moore nel 1993 e dimostrata rigorosamente da Alain Chenciner e Richard Montgomery nel 2000. Nel 2013 i fisici serbi Milovan Šuvakov e Veljko Dmitrašinović hanno annunciato la scoperta di tredici nuove famiglie di orbite periodiche in uno studio pubblicato su Physical Review Letters, riaprendo una caccia che si credeva quasi chiusa.

Perché il problema conta ancora

Il limite scoperto da Poincaré non è una curiosità accademica. Determina la difficoltà di prevedere il destino del Sistema Solare su miliardi di anni, guida la progettazione delle traiettorie interplanetarie e si ritrova nello studio dei sistemi planetari extrasolari, dove tre o più mondi si influenzano a vicenda. Il tema è perfino diventato un fenomeno culturale grazie al romanzo Il problema dei tre corpi dello scrittore cinese Liu Cixin, da cui è stata tratta una serie televisiva. Resta uno dei casi più affascinanti in cui la scienza ha imparato di più proprio scoprendo ciò che non può calcolare.

Il ruolo dei computer

Se non esiste una formula generale, oggi possiamo comunque studiare il problema dei tre corpi con la simulazione numerica. I calcolatori risolvono passo dopo passo le equazioni del moto, calcolando le posizioni dei corpi a intervalli minuscoli di tempo e ricostruendo così le traiettorie. È proprio grazie a questa potenza di calcolo che negli ultimi decenni sono state scoperte nuove orbite periodiche e che gli astronomi possono pianificare missioni complesse o stimare l'evoluzione di sistemi stellari multipli. Tuttavia la natura caotica del problema impone un limite: anche le migliori simulazioni accumulano errori che, in un sistema sensibile alle condizioni iniziali, finiscono per crescere. Possiamo prevedere il comportamento per intervalli sempre più lunghi, ma mai per l'eternità. Il fantasma intravisto da Poincaré, insomma, continua ad accompagnare ogni nostro tentativo di domare la danza gravitazionale di tre corpi.