Congettura di Collatz: il problema più semplice che nessuno sa risolvere

La congettura di Collatz ha una caratteristica rara tra i grandi problemi irrisolti della matematica: la può capire un bambino di dieci anni. Prendi un numero intero positivo qualsiasi. Se è pari, dividilo per due. Se è dispari, moltiplicalo per tre e aggiungi uno. Poi ripeti l'operazione sul risultato ottenuto. La congettura afferma che, qualunque numero si scelga come punto di partenza, prima o poi si arriva sempre a 1. Semplice da enunciare, eppure nessuno è mai riuscito a dimostrarlo.

Un esempio che vale più di mille parole

Partiamo da 6: è pari, quindi 3. È dispari, quindi 3×3+1 = 10. Pari, 5. Dispari, 16. Poi 8, 4, 2, 1. Una volta raggiunto l'1, la sequenza entra nel ciclo 1, 4, 2, 1 e non ne esce più. Sembra facile, ma provate con 27 e preparatevi a una sorpresa: la successione s'impenna, sale fino a 9.232, scende, risale, e solo dopo ben 111 passaggi precipita finalmente all'inevitabile 1. È questa imprevedibilità — numeri piccoli che esplodono, numeri enormi che collassano subito — a rendere la regola tanto ipnotica quanto sfuggente. Per la loro tendenza a salire e scendere come chicchi di grandine in una nube temporalesca, i valori generati dalla regola sono stati ribattezzati hailstone numbers, "numeri grandine".

Mille nomi per un solo enigma

Il problema viene attribuito al matematico tedesco Lothar Collatz, che lo avrebbe formulato attorno al 1937, ma circola sotto una sfilza di altri nomi: problema 3n+1, congettura di Ulam, congettura di Kakutani, problema di Thwaites, algoritmo di Hasse, problema di Siracusa. Questa proliferazione racconta quanto sia stato studiato e condiviso, e quanto poco, alla fine, sia stato domato. Il matematico Jeffrey Lagarias, autore della più completa rassegna sul problema 3x+1, lo ha definito "straordinariamente difficile, del tutto fuori dalla portata della matematica attuale", e ha raccolto centinaia di articoli che vi ruotano attorno senza scalfirlo.

Verificato miliardi di miliardi di volte, dimostrato mai

Con i computer la congettura è stata controllata per ogni singolo numero fino a una soglia gigantesca — oltre 2 elevato alla 68ª potenza, cioè più di 295 milioni di miliardi di miliardi — e non è mai stata trovata un'eccezione. Ma in matematica nessuna quantità di verifiche equivale a una dimostrazione. Basterebbe un solo numero che non torni mai a 1, oppure che entri in un ciclo ripetuto diverso da 1-4-2, per far crollare l'intera congettura. Ed è esattamente ciò che nessuno è riuscito a escludere: dimostrare che non esiste nemmeno una singola eccezione, tra infiniti numeri, è una sfida di natura completamente diversa dal collaudare casi singoli.

Il celebre Paul Erdős, uno dei matematici più prolifici del Novecento, di fronte al problema sentenziò che "la matematica non è ancora pronta per simili domande" e offrì 500 dollari a chi lo avesse risolto. La cifra, simbolica, è ancora lì da reclamare. La congettura è diventata anche una calamita per dilettanti di tutto il mondo, che ogni anno inviano alle università presunte dimostrazioni quasi sempre errate: la sua semplicità apparente inganna e illude.

Il colpo di Terence Tao

Il risultato più vicino a una soluzione porta la firma di Terence Tao, medaglia Fields e tra i matematici viventi più influenti. In un lavoro del 2019 caricato su arXiv con il titolo "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values", Tao ha dimostrato che quasi tutti i numeri di partenza finiscono per scendere a valori molto piccoli. È un passo gigantesco, il più solido mai compiuto, ma quel "quasi" è invalicabile: la dimostrazione lascia fuori una quantità trascurabile di possibili controesempi, e in matematica anche un insieme di misura nulla può nascondere la mosca bianca che rovina tutto. Come ha raccontato la rivista Quanta Magazine, lo stesso Tao dubita che gli strumenti oggi disponibili bastino a chiudere definitivamente la partita.

L'albero che nasce dai numeri

Uno dei modi più affascinanti di "vedere" la congettura è costruire l'albero di Collatz: si parte da 1 e si procede a ritroso, individuando tutti i numeri che a un certo punto conducono a esso. Il risultato è una ramificazione infinita e bellissima in cui, se la congettura è vera, ogni numero intero positivo trova prima o poi il proprio posto. Gli artisti e i programmatori ne hanno tratto visualizzazioni ipnotiche, simili a coralli o a sistemi radicali di piante. Un altro concetto chiave è il tempo totale di arresto, cioè quanti passaggi servono a un dato numero per raggiungere l'1: è proprio l'imprevedibilità di questo valore — che non cresce in modo regolare all'aumentare del numero di partenza — a rendere la congettura un banco di prova ideale per studiare il caos deterministico nei sistemi a regole semplici.

Perché ci ostiniamo

Si potrebbe pensare che un rompicapo simile sia un puro passatempo accademico. In realtà la congettura di Collatz è una finestra sui sistemi dinamici discreti e sul confine, sottilissimo, tra ordine e caos nei numeri interi. Studiarla ha prodotto idee e tecniche utili in altri rami della teoria dei numeri e dell'informatica teorica. Ma soprattutto la sua resistenza ci ricorda una verità scomoda: la semplicità di una domanda non dice nulla sulla difficoltà della risposta. A volte la matematica più profonda e ostinata si nasconde dietro un gioco che sembra fatto apposta per i bambini.