Paradosso di Banach-Tarski: come una sfera diventa due sfere uguali

Immaginate di prendere una sfera solida, di tagliarla in pochi pezzi e di riassemblare quei pezzi — senza deformarli, solo spostandoli e ruotandoli — ottenendo due sfere identiche all'originale, ciascuna delle stesse dimensioni di quella di partenza. Sembra una truffa o un trucco da prestigiatore, eppure è un teorema dimostrato della matematica: il paradosso di Banach-Tarski. Uno dei risultati più sconcertanti del Novecento, che sfida ogni intuizione su volume e quantità.

Un teorema, non un'illusione

Il paradosso fu enunciato nel 1924 dai matematici polacchi Stefan Banach e Alfred Tarski in un articolo pubblicato sulla rivista Fundamenta Mathematicae. Il loro risultato afferma che una palla nello spazio tridimensionale può essere suddivisa in un numero finito di parti — ne bastano cinque — che, mediante semplici movimenti rigidi (rotazioni e traslazioni), possono essere ricomposte in due palle identiche all'originale. Il volume, in apparenza, raddoppia dal nulla.

La parola "paradosso" qui non significa "contraddizione": il teorema è perfettamente coerente con la matematica. Significa piuttosto che il risultato contraddice in modo brutale il nostro senso comune, abituato a un mondo in cui tagliare e riassemblare un oggetto ne conserva il volume. Per capire perché ciò sia possibile occorre abbandonare l'idea intuitiva di "pezzo".

Banach e Tarski erano due figure di spicco della straordinaria scuola matematica polacca fiorita tra le due guerre. Banach, in particolare, fu tra i fondatori dell'analisi funzionale moderna e animava le leggendarie discussioni allo Scottish Café di Leopoli (l'odierna Leopoli/Lwów), dove i matematici annotavano problemi su un quaderno passato alla storia. Il loro paradosso non nacque come provocazione, ma come sottoprodotto rigoroso di indagini profonde sulla natura degli insiemi infiniti e delle loro simmetrie.

Pezzi che non hanno un volume

Il segreto sta nella natura dei "pezzi" in cui la sfera viene divisa. Non sono frammenti come quelli di un'arancia tagliata: sono insiemi di punti infinitamente complessi, nuvole di punti sparse in modo così irregolare da non avere un volume ben definito. In gergo matematico si chiamano insiemi "non misurabili": non si può attribuire loro una misura, né dire quanto siano "grandi".

È proprio questa caratteristica a rendere possibile il paradosso. Se i pezzi avessero un volume, la somma dei volumi prima e dopo dovrebbe coincidere, e il raddoppio sarebbe impossibile. Ma quando si lavora con insiemi privi di volume, l'idea stessa di "conservazione del volume" perde di significato. Si possono allora riorganizzare i punti in modo da riempire due sfere usando lo stesso "materiale" di una sola.

Il ruolo dell'assioma della scelta

Per costruire questi insiemi paradossali i matematici si appoggiano a un principio fondamentale ma discusso: l'assioma della scelta. In termini semplici, questo assioma afferma che, data una collezione anche infinita di insiemi non vuoti, è sempre possibile scegliere un elemento da ciascuno di essi, anche senza una regola esplicita per farlo. È uno strumento potentissimo, accettato dalla maggior parte dei matematici, ma che genera conseguenze controintuitive come questa.

Come spiega la Stanford Encyclopedia of Philosophy, il paradosso di Banach-Tarski è spesso citato come l'esempio più spettacolare degli effetti "strani" dell'assioma della scelta. Alcuni matematici lo considerano una buona ragione per diffidarne; la maggioranza, però, lo accetta perché rinunciare all'assioma della scelta significherebbe perdere molti altri risultati utili e desiderabili dell'analisi e dell'algebra.

Perché non funziona nel mondo reale

A questo punto la domanda è inevitabile: perché non possiamo duplicare una palla da biliardo o un lingotto d'oro? La risposta è che il paradosso vive interamente nel mondo astratto della matematica del continuo. Una sfera matematica è un insieme infinito di punti privi di dimensione; la materia reale, invece, è fatta di un numero finito di atomi.

Non si può tagliare un oggetto fisico negli insiemi non misurabili richiesti dal teorema, perché tali insiemi non sono fisicamente realizzabili: richiederebbero di separare i punti uno per uno secondo uno schema infinitamente fine e non costruibile con strumenti reali. Come sottolinea Wolfram MathWorld, il paradosso è una proprietà degli oggetti matematici idealizzati, non una ricetta per moltiplicare l'oro.

Cosa ci insegna davvero

Il paradosso di Banach-Tarski non è un gioco di prestigio fine a sé stesso: ha avuto un ruolo profondo nello sviluppo della teoria della misura, la branca della matematica che studia come assegnare in modo coerente concetti come lunghezza, area e volume. Ha mostrato, in modo drammatico, che non è possibile attribuire un volume a tutti i sottoinsiemi dello spazio senza incorrere in contraddizioni. È curioso, inoltre, che lo stesso fenomeno non si verifichi in una o due dimensioni: sulla retta e nel piano un raddoppio del genere è impossibile, per ragioni legate alla struttura dei gruppi di rotazioni.

In fondo, questo teorema è una lezione di umiltà: l'intuizione, così affidabile nella vita di tutti i giorni, può tradirci completamente quando ci spingiamo nei territori dell'infinito. La matematica, a volte, dimostra cose vere che sembrano impossibili — ed è proprio in quei momenti che rivela la sua natura più profonda e spiazzante.