Il paradosso dell'albergo di Hilbert: l'hotel infinito sempre pieno

Immagina un albergo con infinite stanze, numerate 1, 2, 3, 4 e così via, senza fine. Una sera l'hotel è completo: in ogni stanza c'è un ospite. Arriva un nuovo cliente e chiede una camera. In un albergo normale il portiere allargherebbe le braccia. In questo, invece, può sistemarlo senza problemi – e potrebbe accogliere anche infiniti nuovi ospiti. È il paradosso dell'albergo di Hilbert, un celebre esperimento mentale ideato dal matematico tedesco David Hilbert per mostrare quanto l'infinito si comporti in modo diverso dai numeri a cui siamo abituati.

Il trucco per fare posto a un ospite in più

Il portiere dell'Hotel Infinito ha un'idea geniale. Chiede a ogni ospite di spostarsi nella stanza con il numero successivo: chi è nella stanza 1 va nella 2, chi è nella 2 va nella 3, chi è nella 3 va nella 4, e così via all'infinito. Dopo questo spostamento, ogni ospite ha ancora una stanza, ma la stanza numero 1 è rimasta libera. Il nuovo arrivato vi si accomoda. L'albergo era "pieno", eppure ha trovato posto per uno in più. Questo è già abbastanza sconcertante, ma è solo l'inizio.

E se arrivano infiniti ospiti?

Supponiamo che davanti all'albergo si fermi un autobus con infiniti passeggeri, anch'essi numerati 1, 2, 3... Sembra impossibile sistemarli, dato che tutte le stanze sono occupate. E invece basta un altro trucco: il portiere chiede a ogni ospite di spostarsi nella stanza con numero doppio rispetto al suo. Chi è nella stanza 1 va nella 2, chi è nella 2 va nella 4, chi è nella 3 va nella 6, e così via. In questo modo restano libere tutte le stanze con numero dispari – che sono infinite – pronte ad accogliere gli infiniti nuovi arrivati. L'albergo "completo" ha appena raddoppiato i suoi ospiti.

Con accorgimenti più sofisticati si può perfino sistemare un numero infinito di autobus, ciascuno con infiniti passeggeri. Il paradosso, raccontato in dettaglio anche nella voce enciclopedica dedicata, sembra sfidare il buon senso. Ma non c'è nessun errore: è il modo in cui funziona davvero l'infinito.

Perché funziona: l'infinito numerabile

La chiave sta in un'idea rivoluzionaria del matematico Georg Cantor, vissuto a cavallo tra Ottocento e Novecento. Cantor dimostrò che esistono insiemi infiniti con cui si può comunque "contare", mettendoli in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali (1, 2, 3...). Questo tipo di infinito si chiama infinito numerabile e si indica con il simbolo ℵ₀ ("aleph-zero").

La proprietà sorprendente è che, per questi insiemi, "il tutto" e "una parte" possono avere la stessa grandezza. I numeri pari sono infiniti tanto quanto tutti i numeri naturali, perché a ogni numero naturale se ne può associare uno pari (1↔2, 2↔4, 3↔6...). Nell'aritmetica dell'infinito, insomma, ∞ + 1 = ∞ e ∞ + ∞ = ∞. L'Hotel di Hilbert non è altro che la versione "alberghiera" di questa verità matematica, come spiegano le risorse divulgative di Plus Magazine dell'Università di Cambridge.

Anche le frazioni "stanno" nell'albergo

Un risultato ancora più sorprendente riguarda i numeri razionali, cioè tutte le frazioni. A intuito sembrerebbero infinitamente più numerose dei numeri interi: tra 0 e 1 ce ne sono già infinite. Eppure Cantor dimostrò che anche le frazioni possono essere disposte in un'unica fila ordinata e quindi messe in corrispondenza con i numeri delle stanze. Si possono elencare tutte le coppie numeratore-denominatore seguendo un percorso "a zigzag" su una griglia, in modo da non saltarne nessuna. Tradotto nel nostro albergo: persino tutti gli ospiti dotati di un "numero frazionario" troverebbero una stanza. È un esempio perfetto di come l'infinito numerabile sia molto più "capiente" di quanto immaginiamo.

Non tutti gli infiniti sono uguali

La parte più profonda della scoperta di Cantor è che esistono infiniti più grandi di altri. I numeri reali – cioè tutti i numeri sulla retta, comprese le infinite cifre decimali – non possono essere messi in fila uno a uno come i numeri naturali. Sono "troppi": formano un infinito di ordine superiore, detto infinito del continuo. In altre parole, l'albergo di Hilbert potrebbe accogliere tutti i numeri naturali e tutte le frazioni, ma non tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1: per quelli non basterebbero nemmeno le sue infinite stanze. È una delle idee più vertiginose di tutta la matematica.

Da gioco mentale a strumento serio

David Hilbert, uno dei più influenti matematici del Novecento, propose questo esempio negli anni Venti durante le sue lezioni, proprio per rendere intuitiva la teoria degli insiemi infiniti di Cantor. Lungi dall'essere un semplice rompicapo, l'Hotel di Hilbert è diventato un classico della divulgazione e uno strumento didattico fondamentale per introdurre concetti che stanno alla base della matematica moderna, della logica e dell'informatica teorica.

La lezione di fondo è che la nostra intuizione, tarata sul mondo finito dell'esperienza quotidiana, fa cilecca quando si confronta con l'infinito. Lì valgono regole nuove e controintuitive, che però sono perfettamente coerenti e rigorose. L'Hotel di Hilbert ci ricorda che, in matematica, "pieno" non sempre significa ciò che crediamo, e che l'infinito non è semplicemente "un numero molto grande", ma una creatura del pensiero con leggi tutte sue.