Il paradosso di Banach-Tarski: come una sfera può diventare due

Immaginate di prendere una sfera solida, dividerla in cinque pezzi e poi, semplicemente spostando e ruotando quei pezzi senza deformarli, ottenere due sfere identiche all'originale. Sembra l'inganno di un prestigiatore o la promessa di un alchimista, eppure è un teorema matematico rigorosamente dimostrato. È il paradosso di Banach-Tarski, formulato nel 1924 dai matematici polacchi Stefan Banach e Alfred Tarski, e resta una delle conseguenze più sconcertanti di tutta la matematica moderna.

Che cosa dice davvero il teorema

Nel loro articolo Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, pubblicato sulla rivista Fundamenta Mathematicae, i due autori dimostrano un'affermazione che sfida ogni intuizione: una palla nello spazio tridimensionale può essere scomposta in un numero finito di sottoinsiemi che, dopo sole rotazioni e traslazioni, si ricompongono in due palle ciascuna delle dimensioni di quella di partenza. Versioni successive hanno ridotto il numero di pezzi necessari a soli cinque. Non c'è trucco, non c'è stiramento, non c'è materia aggiunta: dal punto di vista della geometria pura, il volume sembra raddoppiarsi dal nulla.

La chiave è che quei "pezzi" non sono fette di torta o spicchi d'arancia. Sono insiemi di punti talmente frastagliati e dispersi da non avere un volume definito: i matematici li chiamano insiemi non misurabili. Sono nuvole di punti infinitamente complicate, impossibili da disegnare o costruire fisicamente, e proprio per questo le normali regole sul volume smettono di valere.

Perché non funziona con un'arancia vera

La domanda sorge spontanea: se posso raddoppiare una sfera, perché non lo faccio con una pepita d'oro o con il pranzo? La risposta è che il teorema vale solo per il continuo matematico, cioè per un oggetto idealizzato fatto di infiniti punti privi di dimensione. Un'arancia reale è composta da un numero enorme ma finito di atomi, ciascuno con una massa e un volume ben precisi. Non puoi suddividere un atomo in una nube infinitamente sottile di punti, quindi la materia ordinaria è al sicuro.

Il paradosso, in altre parole, non descrive il mondo fisico ma rivela una proprietà profonda dell'infinito. Quando si lavora con insiemi infiniti, l'intuizione costruita sugli oggetti quotidiani può portare a conclusioni completamente sbagliate. Il "raddoppio" funziona perché si riesce a riorganizzare l'infinità di punti in modo da riempire due volte lo stesso spazio, un'operazione che ricorda alla lontana l'albergo infinito immaginato da David Hilbert, dove c'è sempre posto per nuovi ospiti.

L'assioma della scelta, il vero protagonista

Dietro questa magia c'è un principio logico tanto innocuo quanto controverso: l'assioma della scelta. In termini semplici, esso afferma che, data una collezione anche infinita di insiemi non vuoti, è sempre possibile scegliere un elemento da ciascuno, anche senza una regola esplicita per farlo. Sembra ovvio, eppure è proprio questo assioma a permettere la costruzione degli insiemi non misurabili che rendono possibile la duplicazione.

Come spiega la Stanford Encyclopedia of Philosophy, l'assioma della scelta divise i matematici per decenni. Già nel 1905 Giuseppe Vitali aveva usato un ragionamento simile per costruire un insieme privo di lunghezza definita sulla retta. Banach e Tarski portarono l'idea alle estreme conseguenze nello spazio tridimensionale. Senza l'assioma della scelta, il loro paradosso semplicemente non esisterebbe: è il prezzo che la matematica paga per uno strumento altrove utilissimo.

Banach, Tarski e il Caffè Scozzese di Leopoli

Vale la pena ricordare dove nacquero idee tanto vertiginose. Negli anni Venti e Trenta del Novecento, la città di Leopoli (allora in Polonia, oggi in Ucraina) ospitava una straordinaria scuola matematica. I suoi protagonisti, tra cui Stefan Banach, si riunivano allo Szkocka, il Caffè Scozzese, dove discutevano problemi scrivendo direttamente sui tavoli di marmo. Le questioni più importanti furono poi raccolte nel celebre Libro Scozzese. Banach è considerato uno dei padri dell'analisi funzionale moderna, mentre Alfred Tarski divenne uno dei più influenti logici del secolo, come ricostruisce l'Encyclopaedia Britannica.

Un paradosso che non è un errore

È importante chiarire un punto: il risultato di Banach-Tarski non è una contraddizione né un baco nella matematica. È un teorema corretto, dimostrato a partire dagli assiomi della teoria degli insiemi più diffusa. Lo chiamiamo "paradosso" solo perché contraddice il senso comune, non perché sia falso. Anzi, è proprio la sua solidità a renderlo prezioso: dimostra che concetti familiari come "volume" o "uguale quantità" perdono significato quando li applichiamo agli insiemi non misurabili.

Per questo, come sottolinea anche una riflessione di Quanta Magazine sull'infinito in matematica, il vero insegnamento del teorema non riguarda le sfere, ma i limiti della nostra intuizione. La matematica non è tenuta a comportarsi come ci aspettiamo: a volte, seguendo regole logiche impeccabili, ci conduce in territori dove una palla può diventarne due. E imparare ad accettarlo è parte del fascino di questa disciplina.