Problema di Monty Hall: perché conviene sempre cambiare porta

È forse il problema di probabilità più controintuitivo che esista, capace di far litigare matematici di professione e di ingannare quasi tutti al primo colpo. Si chiama problema di Monty Hall, dal nome del conduttore del telequiz americano Let's Make a Deal, e la domanda che pone è ingannevolmente semplice: davanti a tre porte, conviene cambiare la propria scelta dopo che ne è stata aperta una? La risposta — sì, conviene, e raddoppia le probabilità di vincere — è così difficile da accettare che ha scatenato una delle più clamorose polemiche scientifiche del Novecento.

Il gioco delle tre porte

Le regole sono queste. Ci sono tre porte chiuse: dietro una c'è un'automobile, dietro le altre due una capra. Il concorrente ne sceglie una, per esempio la numero 1, ma non la apre. A questo punto il conduttore, che sa dove si trova l'auto, apre una delle due porte rimaste — diciamo la numero 3 — rivelando una capra. Poi pone la domanda fatidica: «Vuoi tenere la porta 1 o passare alla 2?». L'istinto suggerisce che ormai le porte rimaste siano equivalenti, 50 e 50. Ed è qui che l'intuizione sbaglia clamorosamente.

La verità è che cambiare porta fa vincere nei due terzi dei casi, mentre restare sulla scelta iniziale fa vincere solo in un terzo. Non è un trucco né un paradosso apparente: è matematica rigorosa, come spiega in dettaglio la voce di Wikipedia dedicata al problema.

Perché conviene cambiare

Il modo più chiaro per capirlo è ragionare sulla scelta iniziale. Quando il concorrente indica la porta 1, ha una probabilità su tre di aver azzeccato l'auto: di conseguenza, c'è una probabilità di due su tre che l'auto sia dietro una delle altre due porte. Quella probabilità del 2/3 non svanisce quando il conduttore apre una porta: poiché egli apre sempre e solo una porta con la capra, l'intero 2/3 si "concentra" sull'unica porta rimasta diversa da quella scelta. Cambiare, quindi, equivale a scommettere su quel 2/3.

Un altro modo per convincersene è immaginare cento porte invece di tre. Scegliete la porta 1 (probabilità di indovinare: 1%). Il conduttore apre 98 porte rivelando 98 capre, lasciando chiusa solo la porta 1 e un'altra. A questo punto è evidente: la porta che ha "saltato" è quasi certamente quella con l'auto. Restare sulla scelta iniziale significa difendere quel misero 1% di partenza.

La polemica del 1990

Il problema divenne celebre nel 1990, quando la giornalista Marilyn vos Savant, nota per il quoziente intellettivo da record, lo affrontò nella sua rubrica sul settimanale Parade dando la risposta corretta: cambiare. Fu travolta da circa diecimila lettere, molte indignate, e — secondo il suo stesso resoconto pubblicato online — quasi un migliaio firmate da persone con un dottorato, convinte che avesse sbagliato. «Siete voi la capra», le scrisse un matematico. Aveva ragione lei.

La vicenda fu raccontata anche dal New York Times nel 1991. Si racconta che persino il grande matematico ungherese Paul Erdős, uno dei più prolifici della storia, rimase scettico finché non gli fu mostrata una simulazione al computer che, ripetendo il gioco migliaia di volte, dava ragione a vos Savant. In realtà il quesito non era nuovo: una versione era stata proposta già nel 1975 dal biostatistico Steve Selvin sulla rivista The American Statistician.

I tre casi possibili

Per chi vuole toccare con mano la dimostrazione, basta elencare i tre scenari iniziali equiprobabili, supponendo di aver scelto la porta 1 e di adottare sempre la strategia del cambio. Primo caso: l'auto è dietro la porta 1 (la nostra). Il conduttore apre una delle altre due, noi cambiamo e perdiamo. Secondo caso: l'auto è dietro la porta 2. Il conduttore è costretto ad aprire la 3, l'unica con la capra che può mostrare; noi cambiamo sulla 2 e vinciamo. Terzo caso: l'auto è dietro la porta 3. Il conduttore apre la 2, noi cambiamo sulla 3 e vinciamo. Su tre situazioni ugualmente probabili, cambiando si vince in due: ecco il famoso 2/3, ottenuto senza alcuna formula complicata, solo elencando i casi.

La chiave nascosta: l'informazione del conduttore

Il punto che quasi tutti trascurano è che il conduttore non apre una porta a caso: sa dove si trova l'auto e sceglie deliberatamente di rivelare una capra. È questa conoscenza a "iniettare" informazione nel gioco e a rendere vantaggioso il cambio. Se invece il conduttore aprisse una porta a caso e per fortuna comparisse una capra (la variante nota come "Monty Fall"), il calcolo cambierebbe e le due porte tornerebbero davvero equivalenti. Come sottolinea la Encyclopædia Britannica, è la procedura del conduttore, non la semplice apertura della porta, a determinare le probabilità.

Il problema di Monty Hall è diventato un classico delle aule universitarie proprio perché mostra quanto la nostra intuizione probabilistica sia fragile. Ci insegna che in questioni di probabilità il contesto e le regole contano quanto i numeri, e che fidarsi del "buon senso" può portarci fuori strada anche di fronte a tre semplici porte chiuse.

Non è un caso isolato: il quesito è oggi un esempio da manuale di ragionamento bayesiano, cioè di come una nuova informazione debba aggiornare le nostre probabilità. Psicologi e scienziati cognitivi lo usano per studiare perché il cervello umano sia così poco portato a ragionare in termini probabilistici: tendiamo a trattare le opzioni rimaste come simmetriche, ignorando la "storia" che ha portato a quella situazione. Curiosamente, alcuni esperimenti hanno mostrato che persino i piccioni, dopo molte ripetizioni, imparano a cambiare porta più rapidamente degli esseri umani, che spesso restano cocciutamente fedeli alla prima scelta. È un piccolo, grande promemoria del fatto che la matematica, a volte, è molto più saggia del nostro istinto.